Calculs de PGCD - Corrigé

Énoncé

Calculer le PGCD de \(a\) et \(b\) .

1.  \(a=260\)    et    \(b=2\,200\)   

2.  \(a=2\,805\)    et    \(b=273\,273\)   

Solution

1. D'une part, on a :
\(\begin{align*}\begin{array}{r|l}260&2\\ 130&2\\ 65&5\\ 13&13\\ 1\end{array}\end{align*}\)  donc \(260=2^2 \times 5 \times 13\) .
D'autre part, on a :
\(\begin{align*}\begin{array}{r|l}2\,200&2\\ 1\,100&2\\ 550&2\\ 275&5\\ 55&5\\ 11&11\\ 1\end{array}\end{align*}\)  donc \(2\,200=2^3 \times 5^2 \times 11\) .
On en déduit que \(\mathrm{PGCD}(260;2\,200)=2^2 \times 5=20\) .

2. D'une part, on a :
\(\begin{align*}\begin{array}{r|l}2\,805&3\\ 935&5\\ 187&11\\ 17&17\\ 1\end{array}\end{align*}\)  donc \(2\,805=3 \times 5 \times 11 \times 17\) .
D'autre part, on a :
\(\begin{align*}\begin{array}{r|l}273\,273&3\\ 91\,091&7\\ 13\,013&7\\ 1\,859&11\\ 169&13\\ 13&13\\ 1\end{array}\end{align*}\)  donc \(273\,273=3 \times 7^2 \times 11 \times 13^2\) .
On en déduit que \(\mathrm{PGCD}(2\,805;273\,273)=3 \times 11=33\) .